El pensamiento lógico-matemático

El pensamiento lógico-matemático reúne una serie de aspectos recurrentes que son identificables a lo largo de su historia. Desde los resultados incipientes de la aritmética pitagórica y de la geometría euclídea, hasta los desarrollos modernos de los correspondientes sistemas abstractos de la aritmética de Peano-Gödel y de la geometría de Hilbert, las ciencias deductivas exhiben una tradición de pensamiento sólidamente fundada en el valor epistémico de la prueba clásica. Esta progresión no ha estado exenta de crisis abruptas y convulsas derivadas de la tensión que origina el intento de expandir el conocimiento, como cuando un nuevo descubrimiento matemático pone en entredicho lo que hasta entonces era considerado verdadero. Paradojas tales como la derivada del descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado de un cuadrado en los tiempos pitagóricos, o las derivadas del descubrimiento de algunas contradicciones en la moderna teoría de conjuntos, dan cuenta también de esta tensión.

Indice
Introducción, 7
I. El marco metalingüístico de la lógica de las ciencias deductivas, 13
Lenguaje objeto y metalenguaje, 13
Proposiciones, 14
La relación de consecuencia lógica entre las proposiciones, 15
Irrelevancia de los valores de verdad con respecto a la consecuencia lógica, 16
Súper-implicación y equivalencia lógica, 17
La negación, 18
Inconsistencia lógica, 19
Suficiencia e insuficiencia de información en un conjunto de premisas, 20
Estableciendo la invalidez lógica: el método de las re-interpretaciones, 22
II. Hipótesis; comprensión y juicio de las proposiciones matemáticas Hipótesis, 25
La distinción óntico-epistémico-doxástica en el dominio de las proposiciones, 27
III. El método deductivo y el método hipotético-deductivo: pruebas, deducciones, falacias y paradojas, 31 Argumentos y argumentaciones, 31
La deducción como procesamiento de información, 32
Deducciones y pruebas, 34
Paradojas, 36
Ejemplos de argumentaciones deductivas e hipotético-deductivas para determinar la verdad o la falsedad de una hipótesis, 36
Más heurística, 38
Falacias que pueden contaminar los métodos, 39
Las argumentaciones son relativas a sus participantes. El caso del teorema de Cantor y de la paradoja de Russell, 40
IV. Sobre las relaciones entre la lógica, la matemática y la lógica matemática, 43
Las pruebas de la matemática son los datos que preceden a la ciencia de la lógica, 43
La lógica como la ciencia de todas las ciencias, 44
Sobre la matematización de la lógica, 46
Los productos de la lógica matemática, 46
Una lógica matemática y sus partes, 47
Lógica de primer orden con identidad, 48
Metalógica de primer orden, 53
Limitaciones expresivas de los lenguajes de primer orden, 56
Categoricidad y equivalencia elemental, 57
Lógica de segundo orden, 58
V. Aplicaciones elementales: aritmética y teoría de conjuntos, 63
Las ciencias matemáticas y su reconstrucción lógica, 63
Conceptos primitivos y axiomas, 64
Conceptos derivados y definiciones, 64
Definibilidad formal y semántica, 65
Derivaciones formales, 66
La aritmética de Gödel, 67
Indefinibilidad de la verdad (Tarski, 1933), 70
Teoría de conjuntos de primer orden de Zermelo-Fraenkel, 71
VI. La práctica; heurística y apodíctica en fragmentos de ciencias deductivas, 77
La práctica demostrativa, 77
Determinación de la validez y de la invalidez en fragmentos de teorías deductivas, 78
Bibliografía, 95